【复合函数定义域的求法.】在数学中，复合函数是由两个或多个函数通过某种方式组合而成的新函数。在实际应用中，了解复合函数的定义域是解决相关问题的基础。复合函数的定义域不仅取决于内部函数的定义域，还受到外部函数的影响。因此，掌握复合函数定义域的求法至关重要。
以下是对复合函数定义域求法的总结，并以表格形式展示不同情况下的处理方法。
一、复合函数定义域的基本概念
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是定义在实数集上的函数，则它们的复合函数可以表示为：
- $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
- $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
复合函数的定义域是使得所有内部函数和外部函数都有意义的自变量集合。
二、复合函数定义域的求法总结
| 情况 | 定义域求法 | 说明 |
| 1. 已知 $ f(x) $ 的定义域为 $ D_f $，$ g(x) $ 的定义域为 $ D_g $ | 求 $ f(g(x)) $ 的定义域：先求 $ g(x) $ 的值域 $ R_g $，再求 $ x $ 使得 $ g(x) \in D_f $ | 即 $ x \in D_g $ 且 $ g(x) \in D_f $ |
| 2. 已知 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的表达式 | 直接代入并分析使表达式有意义的条件 | 如分母不为零、根号内非负等 |
| 3. 复合函数中有多个嵌套函数 | 从外到内逐步分析每一步的定义域限制 | 例如 $ f(g(h(x))) $，需依次考虑 $ h(x) $、$ g(h(x)) $、$ f(g(h(x))) $ 的定义域 |
| 4. 已知 $ f(x) $ 的定义域为 $ [a, b] $，求 $ f(2x+1) $ 的定义域 | 解不等式 $ a \leq 2x + 1 \leq b $ | 通过替换变量找出新的定义域范围 |
| 5. 已知 $ f(x) $ 的定义域为 $ D $，求 $ f(x^2) $ 的定义域 | 解不等式 $ x^2 \in D $ | 根据 $ x^2 $ 的取值范围来确定 $ x $ 的范围 |
三、示例解析
例1：已知 $ f(x) = \sqrt{x} $，定义域为 $ [0, +\infty) $；
$ g(x) = x - 1 $，定义域为 $ (-\infty, +\infty) $。
求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
解：
$ f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{x - 1} $
要求 $ x - 1 \geq 0 $，即 $ x \geq 1 $
所以，定义域为 $ [1, +\infty) $
例2：已知 $ f(x) = \frac{1}{x} $，定义域为 $ x \neq 0 $；
$ g(x) = \ln(x) $，定义域为 $ x > 0 $。
求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
解：
$ f(g(x)) = \frac{1}{\ln(x)} $
要求 $ \ln(x) \neq 0 $，即 $ x \neq 1 $，同时 $ x > 0 $
所以，定义域为 $ (0, 1) \cup (1, +\infty) $
四、总结
复合函数的定义域是一个逐步筛选的过程，需要结合各层函数的定义域与值域进行判断。在实际操作中，应优先分析最外层函数对输入的要求，再逐层向下验证是否满足条件。理解这一过程有助于提高解题效率，避免因忽略某些限制条件而得出错误结果。
表：复合函数定义域求法总结
| 情况 | 方法 | 注意事项 |
| 已知内外函数定义域 | 内函数值域需包含于外函数定义域 | 需满足两者的交集 |
| 表达式明确 | 分析表达式中的限制条件 | 如分母、根号、对数等 |
| 多层嵌套 | 由外向内逐步分析 | 每一层都要检查是否合法 |
| 变量替换 | 解不等式确定新变量范围 | 替换后需重新求定义域 |
| 复杂函数组合 | 综合运用多种方法 | 需灵活处理多条件约束 |
通过以上方法和示例，可以系统地掌握复合函数定义域的求法，提升数学分析能力。