【相对平均误差公式】在数据分析和统计学中，评估模型预测结果与实际值之间的差异是十分重要的。其中，“相对平均误差”（Mean Relative Error, MRE）是一种常用的衡量指标，用于反映预测值与真实值之间偏差的相对大小。它能够帮助我们更直观地理解模型的准确性，尤其在不同量纲或数量级的数据比较中更具优势。
一、什么是相对平均误差？
相对平均误差（MRE）是通过将每个预测值与实际值之间的差值除以实际值，再求出这些比值的平均值得到的指标。它表示的是预测值相对于实际值的平均偏离程度，因此更适合用于不同单位或范围的数据集。
其计算公式如下：
$$
\text{MRE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left
$$
其中：
- $ y_i $ 是第 $ i $ 个实际观测值；
- $ \hat{y}_i $ 是第 $ i $ 个预测值；
- $ n $ 是数据点的总数；
- 绝对值确保误差为正值，避免正负相消。
二、相对平均误差的特点
| 特点 | 描述 |
| 相对性 | 衡量误差的相对大小，不受单位影响 |
| 易于解释 | 结果以小数或百分比形式呈现，便于理解 |
| 对异常值敏感 | 若实际值接近零，可能导致数值不稳定 |
| 适用于不同尺度的数据 | 可用于比较不同量纲的数据集 |
三、相对平均误差与其它误差指标的区别
| 指标 | 公式 | 特点 | ||
| 平均绝对误差（MAE） | $\frac{1}{n} \sum | y_i - \hat{y}_i | $ | 以绝对值衡量误差，单位与原数据一致 |
| 均方误差（MSE） | $\frac{1}{n} \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ | 对大误差惩罚更重，单位平方 | ||
| 相对平均误差（MRE） | $\frac{1}{n} \sum \left | \frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i} \right | $ | 表示误差的相对比例，适合跨尺度比较 |
四、应用实例
假设我们有以下实际值与预测值：
| 实际值 $ y_i $ | 预测值 $ \hat{y}_i $ | 误差 $ | y_i - \hat{y}_i | $ | 相对误差 $ \left | \frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i} \right | $ |
| 100 | 95 | 5 | 0.05 | ||||
| 200 | 210 | 10 | 0.05 | ||||
| 300 | 280 | 20 | 0.0667 | ||||
| 400 | 410 | 10 | 0.025 |
计算相对平均误差：
$$
\text{MRE} = \frac{0.05 + 0.05 + 0.0667 + 0.025}{4} = 0.0454
$$
即：MRE = 4.54%
五、注意事项
1. 避免分母为零：若实际值 $ y_i = 0 $，则无法计算相对误差，需特别处理。
2. 数据标准化：在使用MRE前，建议对数据进行标准化处理，以减少极端值的影响。
3. 结合其他指标：MRE应与其他误差指标如MAE、MSE等结合使用，以全面评估模型性能。
总结
相对平均误差（MRE）是一种基于比例的误差度量方式，能有效反映预测值与实际值之间的相对偏差。相比绝对误差指标，它在不同数据尺度下的比较中更具优势。然而，在使用时也需注意其对小数值的敏感性，并合理选择数据预处理方法。