【三角函数变换公式汇总】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决各种三角问题的重要工具。无论是解三角形、求周期、进行积分或微分运算，掌握这些公式都至关重要。本文将对常见的三角函数变换公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达 |
| 倒数关系 | $ \sin x = \frac{1}{\csc x} $ $ \cos x = \frac{1}{\sec x} $ $ \tan x = \frac{1}{\cot x} $ |
| 商数关系 | $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $ $ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x $ |
二、角度加减法公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦加法公式 | $ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $ |
| 正弦减法公式 | $ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b $ |
| 余弦加法公式 | $ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $ |
| 余弦减法公式 | $ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $ |
| 正切加法公式 | $ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} $ |
| 正切减法公式 | $ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} $ |
三、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $ $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} $ |
| 正弦半角公式 | $ \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} $ |
四、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $ $ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| 余弦和差化积 | $ \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $ $ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| 正切和差化积 | $ \tan A + \tan B = \frac{\sin(A + B)}{\cos A \cos B} $ $ \tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B} $ |
五、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦乘积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| 余弦乘积化和差 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| 正弦乘正弦化和差 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
六、其他常用公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦与余弦互换 | $ \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $ $ \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $ |
| 周期性 | $ \sin(x + 2\pi) = \sin x $ $ \cos(x + 2\pi) = \cos x $ |
| 奇偶性 | $ \sin(-x) = -\sin x $ $ \cos(-x) = \cos x $ |
通过以上公式的整理，我们可以更清晰地掌握三角函数之间的转换规律，有助于提高解题效率和理解深度。建议在学习过程中结合实际例题进行练习，加深对公式的理解和应用能力。